EJERCICIOS DE FISICA

Entregar máximo hasta las 8:00 pm. 23 de septiembre de 2011

1. Una pelota de béisbol de 0.15 Kg. se lanza con una velocidad de 40 m/seg. Luego es bateada directamente hacia el lanzador con una velocidad de 50 m/seg. a) Cual es el impulso que recibe la pelota?

b) Encuentre la fuerza promedio ejercida por el bate sobre la pelota si los dos están en contacto durante 2 * 10- 3 seg. Compare este valor con el peso de la pelota y determine si es valida o no la aproximación del impulso en esta situación.

2. Dos trenes partes de una misma estación, uno a 50 km/h y el otro a 72 km/h.  ¿A qué distancia se encontrará uno de otro al cabo de 120 minutos?:

(a)   Si marchan en el mismo sentido.

(b)   Si marchan en sentidos opuestos.

3. La figura muestra un plano inclinado rugoso que forma un ángulo de 37o con la horizontal y dos bloques A y B en reposo, unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable. Si la masa del cuerpo A es mA = 3kg y el coeficiente de roce estático es μ = 0,2, determine

i) Los valores máximos y mínimos de mB compatibles con el equilibrio.

ii) El valor de la tensión de la cuerda en los dos casos anteriores.

TALLER DE FISICA II

TALLER DOS

FISICA GENERAL

TERCER SEMESTRE DE INGENIERIA DE SISTEMA

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

1.  Un carro de laboratorio de masa 2,5 kg, se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento a una velocidad de 0,5 m/s.  Un bloque de madera de 1 kg cae verticalmente sobre el carro.  Calcular la velocidad del sistema carro–bloque.

2.  Sobre un cuerpo de 20 g inicialmente en reposo actúa una fuerza de 3 N, en una distancia de 20 m.  Calcular:

(a)       El impulso que actúa sobre el cuerpo.

(b)       La cantidad de movimiento que adquiere el cuerpo.

3.  Dos vehículos de masas 1000 kg y 2000 kg chocan en una intersección de ángulo recto quedando enganchados. Ya juntos, deslizan 8 m con un coeficiente de fricción de 0.6  antes de detenerse y en una dirección a 45° con las direcciones iniciales. Hallar las velocidades antes del choque.

≈ 74 km h

1.    37 km h

4. Dos hombres, cada uno de masa m, están parados en una plataforma de masa 10m, que descansa sobre un piso liso. Saltan horizontalmente por un extremo de la plataforma con velocidad relativa a ella de magnitud vo . Calcular la velocidad final de la plataforma si:

a) los dos hombres saltan juntos,

b) salta primero uno y luego el otro

¿Cuál velocidad es mayor?

EJERCICIOS DE PRACTICA PRIMER SEMESTRE DE MATEMÁTICA BASICA

http://www.fisica.ru/dfmg/teacher/archivos/teoria-conjuntos.pdf?sess_=trphi6o804rvf5uosa02vn16c3

TALLER MATEMATICA BASICA PRIMER SEMESTRE INGENIERIA DE SISTEMA MOMPOX

1. La Universidad de Cartagena cuenta con 300  estudiantes. Se sabe que 180 pueden programar en Pascal, 120 en Fortran, 30 en C++, 12 en Pascal y C++, 18 en Fortran y C++, 12 en Pascal y Fortran y 6 en los tres lenguajes. Conteste:

a) ¿Cuántos estudiantes pueden programar exactamente en dos lenguajes?

b) ¿Cuántos estudiantes pueden programar a lo menos en dos lenguajes?

c) ¿Cuántos estudiantes pueden programar a lo sumo en tres lenguajes?

d) ¿Cuántos estudiantes de la escuela de ingeniería no saben ninguno de estos tres lenguajes?

2. En una encuesta sobre preferencias de los canales de televisión 7, 9 y 13 , se obtuvo la siguiente información:

55 encuestados ven el canal 7

15 solo ven el canal 7 y 9

33 ven el canal 7 y 13

3 solo ven el canal 13

25 ven los tres canales

46 ven el canal 9

6 no ven televisión

2 solo ven canal 13 y 9

Hallar la cantidad de personas que

a) fueron encuestadas.

b) solo ven el canal 9.

c) solo ven el canal 7.

d) ven televisión.

3. En una sección de 45 alumnos; 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo ese deporte nada más; 25 juegan básquet, pero solo 10 juegan ese deporte y ninguno otro; 19 juegan vóley y solo exclusivamente vóley. Además 5 juegan futbol, vóley y básquet en algún momento. Por último, 9 juegan futbol y básquet. Si todos practican al menos un deporte:

a) ¿Cuántos juegan básquet y vóley?

b) ¿Cuántos juegan futbol y no básquet?

c) ¿Cuántos juegan vóley y no básquet?

d) ¿Cuántos juegan exclusivamente un deporte a la vez?

e) ¿Cuántos juegan dos y solo dos deportes a la vez?

4. Se realizó una encuesta con 550 personas. Se encontró que 130 veían la televisión, 215 escuchaban la radio, 345 leían el periódico para enterarse de las noticias. M´as a´ın, 100 leían el periódico y escuchaban radio, 35 veían la televisión y escuchaban radio y 65 veían televisión y leían el periódico. Si 20 personas se enteraban de la noticias por los tres medios,

a) ¿cuántas solo veían TV?

b) ¿cuántas usaban al menos dos medios de comunicación para enterarse de las noticias?

c) ¿cuántas usaban exclusivamente sólo dos medios de comunicación?

d) ¿cuántas usaban uno y solo un medio para enterarse de las noticias?

e) ¿cuántos no utilizaban ninguno de estos tres medios?

5. En un estudio de 10000 personas, un inspector mercantil encontró que 740 habían comprado acciones de minas de oro, 560 habían comprado acciones de minas de plata, y 380 habían comprado acciones de explotaciones. De estos, 500 compraron acciones e minas de oro y plata, 200 de oro y explotaciones y 50 de plata y de explotaciones.

a) ¿Cuántos personas solo tenían acciones de uno de los tres tipos de actividad mineras?

b) ¿Cuántas personas tenían acciones de al menos dos actividades productivas?

c) ¿Cuántas personas solo tenían acciones en dos y solo dos actividades mineras?

d) ¿Cuántas personas compraron de los tres tipos de acciones?

Continuacion del taller I de física

    Ejercicios 2,4,7 y 9 del capitulo 3b leyes de Newton aplicaciones 1

INFORMACION

Saludos,

Para el sábado estudiar el capitulo 1 y capitulo 2 parte I del enlace de física general, para socializar el sábado 27 a las 2:00 pm.


Luis Martinez Magallanes
Tutor

 

teoria complementaria unidad dos y tres

http://www.casioacademico.com.pa/Descargas/Articulos/CalcII9860GP2.pdf

INFORMACION

Cordial saludo,


Estudiantes Ing sistema III  semestre.


Les comunico que el sábado 6 de agosto no habrá clase de calculo integral. 


Por favor informarle a los demás compañeros.

Luis Martinez Magallanes
Tutor

TALLER CAPITULO UNO

EJERCICIOS

Calcula las siguientes integrales indefinidas (o comprobar las resueltas)

1.

2. =

3. =

4. =

5. 

6. =

7. =

8. =

9. =

10. 

11. =

12. =

13. =

14.=+C

15.=

16. =

Indicación 

Nota de los otros capitulos

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html  Nota: Esta pagina contiene el capitulo dos del ciclo.

web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/.../13%20Sol%20Cien.pdf

http://www.gabrielivorra.com/PDF-MaterialDidactic/2nBHCS-LMillan/ceed-analisis-integral%20definida.pdf Nota: Esta pagina contiene el capitulo tres del ciclo.

CAPITULO I


INTEGRAL INDEFINIDA Y APLICACIONES

INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA

Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII .

Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente es mostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el cálculo de áreas y volúmenes.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

 Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Así:

La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

Así:
La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.




PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC.

Primera propiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función
F(x) + C es otra primitiva de f(x).
Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)
Ejercicio: primitivas de una función
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
ð Encontrar tres primitivas de la función cos x.
Resolución:
ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
Segunda propiedad
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar
a C.
Tercera propiedad
Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.
Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).
Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:
ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,


Resolución:

Por consiguiente,


Resolución:

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð





INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.





















Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.


Resolución:



Resolución:

ð Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

Por tanto,



Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.

ð Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.
Resolución:
ð Hay que probar la certeza de la igualdad

Basta demostrar que la derivada de la función


cociente,

Así,

Se concluye que

Por consiguiente,

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )

Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
ð Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,


Demostración:


Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de
f(x) - g(x), ya que:
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)
Por tanto,


Análogamente,

ð Segunda propiedad de las integrales
La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.
Es decir,

Demostración:

Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de
k · f(x). Por tanto,


Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:



son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.
En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.
Así,


Por consiguiente,


Resolución:

= - cos x - 3 In |cos x| + C


Resolución:
ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

ð Así,



Resolución:
(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

ð Aplicando la propiedad distributiva del producto:

ð Entonces,




Resolución:
ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

ð Por tanto,






Resolución:



ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
Integración por cambio de variable (o sustitución)
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.


Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena

Por tanto,

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:



Resolución:

ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se 
por la constante (en este caso 2) que falta.




Resolución:



Resolución:



ð Se multiplica y se divide por 3:


ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð


Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de


Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 6:


Resolución:

Por tanto,





ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función
u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).
Por consiguiente,


MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II )

Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:
ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.

ð Se multiplica y se divide por 3:



Resolución:

ð Se multiplica y se divide por - 1.


Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 2:

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que


La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es
u' · sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u' · cos u.
Así se tienen


Ejercicio: cálculo de integrales
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

La primera de ellas significa sen (x · x · x), mientras que la segunda es (sen x) · (sen x) · (sen x).

ð Se saca el factor 5 de la integral.
ð Se multiplica y se divide por 3.

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
ð Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:


Ejercicio: cálculo de integrales
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:
ð Se saca de la integral la constante 13.

ð Se multiplica y se divide por 50:



Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 3.



Resolución:
ð Se extrae la constante 3 de la integral.

Por la derivada de un cociente,



ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u' · sec u · tg u. Análogamente, la derivada de la función- cosec u es u' · cosec u · cotg u. Por tanto,


Ejercicio: cálculo de integrales
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

ðSe multiplica y se divide por 2:



Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 2:



Resolución:





ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
ð De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:



Ejercicio: cálculo de integrales
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:

Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:




Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 3:



Resolución:
ð Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.






La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.

Resolución:
ð Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:

ð Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se 





Resolución:

lugar a una integral del tercer caso:




Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.





ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð
ð De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:




MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( III )

Ejercicio: cálculo de integrales
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:
ð Esta integral pertenece al tercero de los casos. Basta escribir 6x2 - 1 de forma adecuada: 6x2 - 1 = (
x)2 - 1





Resolución:
ð Escribiendo 25 x2 en la forma (5x)2, el cambio a efectuar es u = 5x; u' = 5.
ð Se multiplica y se divide por 5.




Resolución:
ð Transformando adecuadamente 4 - x2, esta integral es del cuarto tipo:




ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t.
Diferenciando, dx = a · cos t dt.
Así,


Por trigonometría se sabe que:




En consecuencia,




Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,




Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

Ejercicio: cálculo de integrales
ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución:
ð Cambio de variable:
x = 3 sen t
dx = 3 cos t dt








ð Se deshace el cambio:





Resolución:
ð En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó:

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð